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Bonjour,
J'ai une chaîne ABCDE composée de quatre maillons ..
Je suspends cette chaîne dans un demi-cercle, comme indiqué sur la figure .. Je fais correspondre les points A , C et E de ma chaîne avec le cercle .. Il n'y a aucune difficulté à faire ça, ni impossibilité ..
Du fait de la gravité, ma chaîne ainsi suspendue décrit une courbe chaînette ..
Nous avons trois points de la chaînette, A , E , et C , qui sont sur le cercle ..
On considère que ces trois points sont maintenus fixes sur le cercle, et qu'ils peuvent pivoter sur place, décrivant eux-mêmes des cercles ..
Il y a deux autres points de la chaînette: le point B, et le point D ..
Le point B et le point D sont des articulations entre deux maillons ..
Comme les points A , E et C sont fixés, par rotation ils déterminent la position des points B et D .. Dans cette configuration le point D par exemple ne peut avoir que deux positions: D et D' , il ne peut pas être ailleurs .. Du fait de la gravité le point D' se positionne en D .. Idem pour le point B (et B') ..
La figure obtenue est sans conteste une chaînette, les cinq points-articulations de la chaîne en suspension et rotation stabilisée décrivent une courbe chaînette ..
Or il se trouve que cette figure "gravitationnelle" est également une figure géométrique toute simple, dont on peut calculer les angles: Â fait 60°, B^ fait 150° , et ^C fait 120°..
Nous nous retrouvons avec une chaînette quatre maillons, de corde 2 flèches, avec un angle au sommet de 120° et deux autres angles de 150° ..
Ok .. Mais il y a un problème .. Le problème c'est que la chaînette standard Leibnitz Bernoulli quatre maillons de corde 2 flèches n'a pas un angle au sommet de 120°, ni des angles latéraux de 150° .. La chaînette officielle Leibnitz Bernoulli, de corde deux flèches, a un angle au sommet de deux fois 60,567° , et des angles latéraux de 148,864° .. ça fait quand-même quelques degrés d'écart .. Dans l'espace avec des fusées ça peut faire des milliers de kilomètres .. La question est: quelle est la bonne chaînette ?
J'ai compris où mon raisonnement foire un tout petit peu: rien ne prouve vraiment que l'angle ^BCD fasse 120° pile, et ^CDE fasse 150° pile .. Ce qui me pousse à penser que ces angles sont bons, c'est qu'avec eux la figure est hyper symétrique, et que l'hyper symétrie peut être le signe d'un équilibre parfait ..
Vous en pensez quoi ?
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Démonstration de Black Jack :
Bonjour,
Avec A comme origine et axe des ordonnées vertical vers le bas :
Soit theta1 l'angle entre l'horizontale et AB
Soit theta2 l'angle entre l'horizontale et BC
Soit alpha l'angle (ABC)

On a : cos(theta1) + cos(theta2) = 1,366025 (1)

Hauteur du centre de gravité de AB : y1 = 1/2.sin(theta1)
Hauteur du centre de gravité de BC : y2 = sin(theta1) + 1/2.sin(theta2)

Hauteur du centre de gravité de la tige ABC : yG = y1 + y2

yG = 3/4.sin(theta1) + 1/4.sin(theta2) (2)

On éliminant theta2 entre (1) et (2), on obtient : yG = 3/4.sin(theta1) + 1/4 * sqrt(1 - (1,366025-cos((theta1))²)

On aura équilibre lorsque G sera au plus bas possible --> on cherche l'extrema de yG en dérivant yG par rapport à theta1 (et on cherche son zéro).

On trouve yG'(theta1) = 0 pour theta1 = 1,047198 rad, soit 60° et avec (1), on trouve theta1 = 30°

Or on a : alpha + theta1 + (90° - theta2) + 90° = 360° (la somme des angles d'un angle quadrilatère = 360°)

--> alpha = 180° - theta1 + theta2 = 180° - 60° + 30° = 150°

L'angle(ABC) = 150°