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https://claude.ai/artifact/SwuXrJX1s7H3wcFoESJ9gD
Considérons une chaîne symétrique de quatre maillons égaux de longueur L, en équilibre, accrochée en deux points de même hauteur. Appelons w sa demi-ouverture (la moitié de la corde) et d sa profondeur (la flèche). Alors il existe une unique autre chaîne du même type, de même longueur de maillon, de demi-ouverture d et de profondeur w. On l’appelle la chaîne duale. Elle est elle-même la duale de la première, et une chaîne est sa propre duale si et seulement si ses angles valent 30° et 60°.

Démonstration. Notons θ₁ l’angle du maillon du bas avec l’horizontale, et θ₂ celui du maillon du haut. Le modèle d’équilibre (tension horizontale constante, poids au milieu de chaque maillon) donne tan θ₂ = 3·tan θ₁, avec :

w = L(cos θ₁ + cos θ₂),
d = L(sin θ₁ + sin θ₂).

Posons θ₁′ = 90° − θ₂ et θ₂′ = 90° − θ₁. Alors :

tan θ₂′ = 1/tan θ₁ = 3 · (1/(3 tan θ₁)) = 3 · (1/tan θ₂) = 3·tan θ₁′. La chaîne d’angles θ₁′, θ₂′ vérifie donc la même loi d’équilibre.
Sa demi-ouverture vaut L(cos θ₁′ + cos θ₂′) = L(sin θ₂ + sin θ₁) = d, et sa profondeur L(sin θ₁′ + sin θ₂′) = L(cos θ₂ + cos θ₁) = w.

Si on pose t = tan θ₁, la dualité est l’involution t ↦ 1/(3t), dont le point fixe est t = 1/√3, soit θ₁ = 30° et θ₂ = 60°. L’unicité vient de ce que, pour une demi-ouverture donnée, l’équilibre est unique.
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