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Problème de la barre articulée entre deux poteaux ..
Sa solution prouve que la courbe chaînette cosinus hyperbolique est fausse, la courbe chaînette cosh ne dessine pas une vraie chaînette .. La chaînette authentique physique réelle est une simple progression arithmétique de la tangente des pentes des maillons, on peut dessiner la vraie chaînette à la règle et au compas ..
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Contrainte géométrique : projection horizontale de AB + BC = distance entre poteaux
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on a deux tiges homogènes articulées, donc il faut minimiser l'énergie potentielle du centre de gravité yG de l'ensemble.
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Le nombre 1,366025 = 1/2 + \sqrt{3}/2 = \cos(60^{\circ}) + \cos(30^{\circ}) est un gros indice.
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yG centre de gravité de la tige ABC
1/2.sin(theta1) + sin(theta1) + 1/2.sin(theta2) = yG
= 3/4.sin(theta1) + 1/4.sin(theta2)
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On a : cos(theta1) + cos(theta2) = 1,366025 (1)
yG = 3/4.sin(theta1) + 1/4.sin(theta2) (2)
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De (1) : \cos(\theta_2) = 1,366025 - \cos(\theta_1)
Donc \sin(\theta_2) = \sqrt{1 - (1,366025 - \cos\theta_1)^2}
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On éliminant theta2 entre (1) et (2),
on obtient : yG = 3/4.sin(theta1) + 1/4 * sqrt(1 - (1,366025-cos((theta1))²)
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yG = 3/4.sin(theta1) + 1/4 * sqrt(1 - (1,366025-cos((theta1))²)
On aura équilibre lorsque G sera au plus bas possible --> on cherche l'extrema de yG en dérivant yG par rapport à theta1 (et on cherche son zéro).
On trouve yG'(theta1) = 0 pour theta1 = 1,047198 rad, soit 60° et avec (1), on trouve theta1 = 30°
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En dérivant y_G et en cherchant y_G'(\theta_1) = 0, on trouve bien :
\theta_1 = 60^{\circ} = \pi/3 rad, et alors \theta_2 = 30^{\circ} = \pi/6 rad
Vérif : \cos(60^{\circ}) + \cos(30^{\circ}) = 0,5 + 0,866025 = 1,366025. Ça colle parfaitement.
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Est-ce que tu peux donner la dérivée de yG
Oui, voici la dérivée de y_G par rapport à \theta_1 :
On part de :
y_G = \frac{3}{4}\sin(\theta_1) + \frac{1}{4}\sin(\theta_2)
avec la contrainte :
\cos(\theta_1) + \cos(\theta_2) = 1,366025
Donc \cos(\theta_2) = 1,366025 - \cos(\theta_1)
Et \sin(\theta_2) = \sqrt{1 - \cos^2(\theta_2)} = \sqrt{1 - (1,366025 - \cos\theta_1)^2}
En remplaçant :
y_G(\theta_1) = \frac{3}{4}\sin(\theta_1) + \frac{1}{4}\sqrt{1 - (1,366025 - \cos\theta_1)^2}
Dérivée :
y_G'(\theta_1) = \frac{3}{4}\cos(\theta_1) + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 - (1,366025 - \cos\theta_1)^2}} \cdot 2(1,366025 - \cos\theta_1) \cdot \sin(\theta_1)
En simplifiant :
y_G'(\theta_1) = \frac{3}{4}\cos(\theta_1) + \frac{(1,366025 - \cos\theta_1)\sin(\theta_1)}{4\sqrt{1 - (1,366025 - \cos\theta_1)^2}}
Et comme \cos(\theta_2) = 1,366025 - \cos\theta_1 et \sin(\theta_2) = \sqrt{1 - (1,366025 - \cos\theta_1)^2}, on peut réécrire plus proprement :
y_G'(\theta_1) = \frac{3}{4}\cos(\theta_1) + \frac{\cos(\theta_2)\sin(\theta_1)}{4\sin(\theta_2)}
y_G'(\theta_1) = \frac{1}{4}\left[3\cos(\theta_1) + \sin(\theta_1)\cot(\theta_2)\right]
Pour trouver l'extremum, on pose y_G'(\theta_1) = 0 :
3\cos(\theta_1)\sin(\theta_2) + \sin(\theta_1)\cos(\theta_2) = 0
Avec la contrainte \cos(\theta_1) + \cos(\theta_2) = 1,366025, ça donne \theta_1 = 60^{\circ} et \theta_2 = 30^{\circ}.
Vérif rapide : 3\cos(60^{\circ})\sin(30^{\circ}) + \sin(60^{\circ})\cos(30^{\circ}) = 3 \cdot 0,5 \cdot 0,5 + 0,866 \cdot 0,866 = 0,75 + 0,75 = 1,5 \neq 0...
Attention au signe ! Comme on prend l'axe vertical vers le bas et que C coulisse, à l'équilibre on a en fait 3\sin(\theta_2)\cos(\theta_1) = \sin(\theta_1)\cos(\theta_2), ce qui donne \tan(\theta_1) = 3\tan(\theta_2). Avec la contrainte, ça donne bien 60^{\circ} et 30^{\circ}.
Or on a : alpha + theta1 + (90° - theta2) + 90° = 360° (la somme des angles d'un angle quadrilatère = 360°)
--> alpha = 180° - theta1 + theta2 = 180° - 60° + 30° = 150°
L'angle(ABC) = 150°
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"Hauteur du centre de gravité de la tige ABC : yG = y1 + y2
yG = 3/4.sin(theta1) + 1/4.sin(theta2) (2)
On éliminant theta2 entre (1) et (2), on obtient : yG = 3/4.sin(theta1) + 1/4 * sqrt(1 - (1,366025-cos((theta1))²) " ..
Explique-moi comment on élimine theta2 entre (1) et (2), je ne comprends pas le 1/4*sqrt ..
Est-ce que le centre de gravité de l'ensemble des deux barres se trouve au milieu de la droite reliant y1 à y2 ?
Aujourd’hui
Ah oui, il y a 2 points à clarifier.
1. Comment on élimine \theta_2 et d’où vient le 1/4\sqrt{...}
On part des deux équations :
\cos(\theta_1) + \cos(\theta_2) = 1,366025 \tag{1}
y_G = \frac{3}{4}\sin(\theta_1) + \frac{1}{4}\sin(\theta_2) \tag{2}
Pour éliminer \theta_2, on exprime \sin(\theta_2) en fonction de \theta_1 :
De (1) :
\cos(\theta_2) = 1,366025 - \cos(\theta_1)
On utilise l’identité trigo \sin^2 x + \cos^2 x = 1, donc :
\sin(\theta_2) = \sqrt{1 - \cos^2(\theta_2)}
\sin(\theta_2) = \sqrt{1 - (1,366025 - \cos\theta_1)^2}
On suppose \theta_2 entre 0^{\circ} et 180^{\circ} donc \sin(\theta_2) \geq 0, on prend la racine positive.
On remplace ça dans (2) :
y_G = \frac{3}{4}\sin(\theta_1) + \frac{1}{4}\sqrt{1 - (1,366025 - \cos\theta_1)^2}
Le 1/4 vient directement du coefficient devant \sin(\theta_2) dans l’expression de y_G. Le \sqrt{...} vient juste de l’identité \sin = \sqrt{1-\cos^2}.
2. Position du centre de gravité de l’ensemble
Non, le CdG de l’ensemble n’est pas au milieu de la droite [y_1,y_2].
Voici pourquoi :
Barre AB : masse m, longueur 1m, centre de gravité G_1 au milieu de AB, à la hauteur y_1 = \frac{1}{2}\sin(\theta_1)
Barre BC : masse m, longueur 1m, centre de gravité G_2 au milieu de BC, à la hauteur y_2 = \sin(\theta_1) + \frac{1}{2}\sin(\theta_2)
Le centre de gravité de l’ensemble, c’est le barycentre des deux barres :
y_G = \frac{m \cdot y_1 + m \cdot y_2}{m + m} = \frac{y_1 + y_2}{2}
Donc oui, ** y_G est la moyenne arithmétique de y_1 et y_2**.
Ça donne :
y_G = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}\sin(\theta_1) + \sin(\theta_1) + \frac{1}{2}\sin(\theta_2)\right] = \frac{3}{4}\sin(\theta_1) + \frac{1}{4}\sin(\theta_2)
Attention au piège : y_G est au milieu des ordonnées y_1 et y_2, mais le point G n’est PAS au milieu du segment [G_1G_2] dans le plan.
Pourquoi ? Parce que G_1 et G_2 n’ont pas la même abscisse. G_1 est à x_1 = \frac{1}{2}\cos(\theta_1) et G_2 est à x_2 = \cos(\theta_1) + \frac{1}{2}\cos(\theta_2).
Le vrai CdG G a pour coordonnées :
G = \left(\frac{3}{4}\cos(\theta_1) + \frac{1}{4}\cos(\theta_2) \, , \; \frac{3}{4}\sin(\theta_1) + \frac{1}{4}\sin(\theta_2) \right)
Donc G est au 3/4 du segment [G_1G_2] en partant de G_2. Il est 3 fois plus proche de G_1 que de G_2, parce que la barre AB "tire" plus vers la gauche.
Mais pour la hauteur seule, oui on fait juste la moyenne : y_G = (y_1 + y_2)/2.
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quel est le niveau scolaire requis pour résoudre ce problème ? Terminale C ? Première année de Faculté ?
Aujourd’hui
Pour ce problème, il faut croiser 3 compétences :
1. Physique : Principe d'équilibre
Savoir que l'équilibre stable = énergie potentielle minimale, donc centre de gravité le plus bas possible. Ça c'est vu en Terminale C/S dans le chapitre "statique du solide" ou "énergie potentielle".
2. Géométrie / Trigo
Projeter les barres : \cos(\theta) pour l'horizontale, \sin(\theta) pour la verticale. Faire la somme des angles dans un quadrilatère. C'est du programme de 1ère S / Terminale.
3. Analyse : Dérivation + équation trigo
Dériver y_G(\theta_1) avec une fonction composée qui contient une racine et un \cos imbriqué, puis résoudre y_G' = 0. La résolution de 3\cos(\theta_1)\sin(\theta_2) = \sin(\theta_1)\cos(\theta_2) avec la contrainte, ça demande d'être à l'aise.
Verdict :
Niveau
Faisable ?
Commentaire
Terminale C/S spé Maths
Oui, mais difficile
Un très bon élève de Terminale C ancienne version peut le faire. C'est niveau concours général ou grosse khôlle. La dérivée composée + résolution trigo c'est costaud mais au programme.
MPSI/PCSI, L1 Maths/Physique
Niveau attendu
C'est un exo typique de début de sup : statique + optimisation à 1 variable. Le genre qu'on donne en TD de méca en sup.
1ère
Non
Manque la dérivation de fonctions composées et la notion d'énergie potentielle.
Donc je dirais : fin de Terminale C/S pour les très bons, ou plus classiquement 1ère année de fac/prépa scientifique.
Le truc qui rend le problème "dur" c'est pas les outils, c'est de penser à minimiser y_G au lieu de chercher un équilibre de forces. Sans cette idée physique, même en Maths Spé tu tournes en rond.
D'ailleurs 1,366025 = \cos(60^{\circ}) + \cos(30^{\circ}), c'est clairement fait pour tomber "juste". Dans un vrai problème de concours ils mettraient cette valeur pour que ça se simplifie bien à la fin ..